《同底數冪的除法》導學案課件板書設計教學實錄
第七課時
●課題
§1.5同底數冪的除法
●教學目標
(一)教學知識點
1.經歷探索同底數冪除法的運算性質的過程，進一步體會冪的意義.
2.了解同底數冪除法的運算性質，并能解決一些實際問題.
3.理解零指數冪和負整數指數冪的意義.
(二)能力訓練要求
1.在進一步體會冪的意義的過程中，發展學生的推理能力和有條理的表達能力.
2.提高學生觀察、歸納、類比、概括等能力.
(三)情感與價值觀要求
在解決問題的過程中了解數學的價值，發展“用數學”的信心，提高數學素養.
●教學重點
同底數冪除法的運算性質及其應用.
●教學難點
零指數冪和負整數指數冪的意義.
●教學方法
探索——引導相結合
在教師的引導下，組織學生探索同底數冪除法的運算性質及零指數冪和負整數指數冪的意義.
●教具準備
●教學過程
Ⅰ.創設問題情景，引入新課
看課本圖片
圖1－15
一種液體每升含有1012個有害細菌，為了試驗某種殺菌劑的效果，科學家們進行了實驗，發現1滴殺菌劑可以殺死109個此種細菌.要將1升液體中的有害細菌全部殺死，需要這種殺菌劑多少滴？你是怎樣計算的？
［師］這是和數學有密切聯系的現實世界中的一個問題，下面請同學們根據冪的意義和除法的意義，得出這個問題的結果.
［生］根據題意，可得需要這種殺菌劑1012÷109個.
而1012÷109= =
=10×10×10=1000(個)
［生］我是這樣算1012÷109的.
1012÷109=(109×103)÷109
= =103=1000.
［師］1012÷109是怎樣的一種運算呢？
［生］1012×109是同底數冪的乘法運算，1012÷109我們就稱它為同底數冪的除法運算.
［師］很好！通過上面的問題，我們會發現同底數冪的除法運算和現實世界有密切的聯系，因此我們有必要了解同底數冪除法的'運算性質.
Ⅱ.了解同底數冪除法的運算及其應用
［師］下面我們就先來看同底數冪除法的幾個特例，并從中歸納出同底數冪除法的運算性質.(出示投影片§1.5 B)
做一做：計算下列各式，并說明理由(m>n).
(1)108÷105;(2)10m÷10n;(3)(－3)m÷(－3)n.
［生］解：(1)108÷105
=(105×103)÷105 ——逆用同底數冪乘法的性質
=103；
［生］解：(1)108÷105
= = ——冪的意義
=1000=103；
［生］解：(2)10m÷10n
= ——冪的意義
= =10m－n ——乘方的意義
(3)(－3)m÷(－3)n
= ——冪的意義
= ——約分
=(－3)m－n ——乘方的意義
［師］我們利用冪的意義，得到：
(1)108÷105=103=108－5;
(2)10m÷10n=10m－n(m>n);
(3)(－3)m÷(－3)n=(－3)m－n(m>n).
觀察上面三個式子，運算前后指數和底數發生了怎樣的變化？你能歸納出同底數冪除法的運算性質嗎？
［生］從上面三個式子中發現，運算前后的底數沒有變化，商的指數是被除數與除數指數的差.
［生］從以上三個特例，可以歸納出同底數冪的運算性質：am÷an=am－n(m,n是正整數且m>n).
［生］小括號內的條件不完整.在同底數冪除法中有一個最不能忽略的問題：除數不能為0.不然這個運算性質無意義.所以在同底數冪的運算性質中規定這里的a不為0，記作a≠0.在前面的三個冪的運算性質中，a可取任意數或整式，所以沒有此規定.
［師］很好！這位同學考慮問題很全面.所以同底數冪的除法的運算性質為：am÷an=am－n(a≠0,m、n都為正整數，且m>n)運用自己的語言如何描述呢？
［生］同底數冪相除，底數不變，指數相減.
［師］能用冪的意義說明這一性質是如何得來的嗎？
［生］可以.由冪的意義，得
am÷an= = =am－n.(a≠0)
［例1］計算：
(1)a7÷a4;(2)(－x)6÷(－x)3;
(3)(xy)4÷(xy);(4)b2m+2÷b2;
(5)(m－n)8÷(n－m)3;(6)(－m)4÷(－m)2.
(7)地震的強度通常用里克特震級表示.描繪地震級數字表示地震的強度是10的若干次冪.例如用里克特震級表示地震是8級，說明地震的強度是107.1992年4月，荷蘭發生了5級地震，12天后，加利福尼亞發生了7級地震.加利福尼亞的地震強度是荷蘭地震強度的多少倍？
分析：開始練習同底數冪的除法運算時，不提倡直接套用公式，應說明每一步的理由，進一步體會乘方的意義和冪的意義.
解：(1)a7÷a4=a7－4=a3;(a≠0)
(2)(－x)6÷(－x)3=(－x)6－3=(－x)3=－x3;(x≠0)
(3)(xy)4÷(xy)=(xy)4－1=(xy)3=x3y3;(xy≠0)
(4)b2m+2÷b2=b(2m+2)－2=b2m;(b≠0)
(5)(m－n)8÷(n－m)3=(n－m)8÷(n－m)3=(n－m)8－3=(n－m)5;(m≠n)
(6)(－m)4÷(－m)2=(－m)4－2=(－m)2=m2.(m≠0)
(7)根據題意，得：
106÷104=106－4=102=100
所以加利福尼亞的地震強度是荷蘭的100倍.
評注：1°am÷an=am－n(a≠0,m、n是正整數，且m>n)中的a可以代表數，也可以代表單項式、多項式等.
2°(5)小題，(m－n)8÷(n－m)3不是同底的，而應把它們化成同底，或將(m－n)8化成(n－m)8,或把(n－m)3化成－(m－n)3.
3°(6)小題，易錯為(－m)4÷(－m)2=－m2.－m2的底數是m,而(－m)2的底數是－m,所以(－m)4÷(－m)2=(－m)2=m2.
Ⅲ.探索零指數冪和負整數指數冪的意義
想一想：
10000=104, 16=24,
1000=10(), 8=2(),
100=10(), 4=2(),
10=10(). 2=2().
猜一猜
1=10(), 1=2(),
0.1=10(), =2(),
0.01=10(), =2(),
0.001=10(). =2()
［師］我們先來看“想一想”，你能完成嗎？完成后，觀察你會發現什么規律？
［生］1000=103， 8=23，
100=102，4=22，
10=101.2=21.
觀察可以發現，在“想一想”中冪都大于1，冪的值每縮小為原來的 (或 )，指數就會減小1.
［師］你能利用冪的意義證明這個規律嗎？
［生］設n為正整數，10n>1,當它縮小為原來的 時，可得10n× = = = =10n－1;又如2n>1,當它縮小為原來的 時，可得2n× = =2n÷2=2n－1.
［師］保持這個規律，完成“猜一猜”.
［生］可以得到猜想
1=100， 1=20，
=0.1=10－1, =2－1,
=0.01=10－2, =2－2,
=0.001=10－3. =2－3.
［師］很棒！保持上面的規律，大家可以發現指數不是我們學過的正整數，而出現了負整數和0.
正整數冪的意義表示幾個相同的數相乘，如an(n為正整數)表示n個a相乘.如果用此定義解釋負整數指數冪，零指數冪顯然無意義.根據“猜一猜”，大家歸納一下，如何定義零指數冪和負整數指數冪呢？
［生］由“猜一猜”得
100=1，
10－1=0.1= ,
10－2=0.01= = ,
10－3=0.001= = .
20=1
2－1= ,
2－2= = ,
2－3= = .
所以a0=1,
a－p= (p為正整數).
［師］a在這里能取0嗎？
［生］a在這里不能取0.我們在得出這一結論時，保持了一個規律，冪的值每縮小為原來的 ,指數就會減少1，因此a≠0.
［師］這一點很重要.0的0次冪，0的負整數次冪是無意義的，就如同除數為0時無意義一樣.因為我們規定：a0=1(a≠0);a－p= (a≠0,p為正整數)
我們的規定合理嗎？我們不妨假設同底數冪的除法性質對于m≤n仍然成立來說明這一規定是合理的.
例如由于103÷103=1,借助于同底數冪的除法可得103÷103=103－3=100,因此可規定100=1.一般情況則為am÷am=1(a≠0).而am÷am=am－m=a0,所以a0=1(a≠0);
而am÷an= (m<n)==,根據同底數冪除法得am÷an=am－n(m<n,m－n為負數).令n－m=p,m－n=－p,則am－n=,即a－p=(a≠0,p為正整數).
因此上述規定是合理的.
［例3］用小數或分數表示下列各數：
(1)10－3;(2)70×8－2;(3)1.6×10－4.
解：(1)10－3= = =0.001;
(2)70×8－2=1× = ;
(3)1.6×10－4=1.6× =1.6×0.0001=0.00016.
Ⅳ.課時小結
［師］這一節課收獲真不小，大家可以談一談.
［生］我這節課最大的收獲是知道了指數還有負整數和0指數，而且還了解了它們的定義：a0=1(a≠0),a－p= (a≠0,p為正整數).
［生］這節課還學習了同底數冪的除法：am÷an=am－n(a≠0,m,n為正整數，m>n),但學習了負整數和0指數冪之后，m>n的條件可以不要，因為m≤n時，這個性質也成立.
［生］我特別注意了我們這節課所學的幾個性質，都有一個條件a≠0,它是由除數不為0引出的，我覺得這個條件很重要.
［師］同學們收獲確實不小，祝賀你們！
Ⅴ.課后作業
1.課本P21，習題1.7第1、2、3、4題.
2.總結冪的四個運算性質，并反思作業中的錯誤.
●板書設計
§1.5同底數冪的除法
1.同底數冪的除法
歸納：am÷an=am－n(a≠0,m、n都是正整數且m>n)
說明：am÷an= = =am－n.
語言描述：同底數冪的除法，底數不變，指數相減.
2.零指數冪和負整數指數冪
a0=1(a≠0)
a－p= (a≠0,p為正整數)
3.例題(由學生板演)
●備課資料
參考練習
1.下面計算中，正確的是( )
A.a2n÷an=a2
B.a2n÷a2=an
C.(xy)5÷xy3=(xy)2
D.x10÷(x4÷x2)=x8.
2.(2×3－12÷2)0等于( )
A.0 B.1 C.12 D.無意義
3.若x2m+1÷x2=x5,則m的值為 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.(a2)4÷a3÷a等于( )
A.a5 B.a4 C.a3 D.a2
5.若32x+1=1,則x= ;若3x= ,則x= .
6.xm+n÷xn=x3,則m= .
7.計算：［－2－3－8－1×(－1)－2］×(－ )－2×70.
8.計算：( )－1+( )0－( )－1.
9.已知10m=3,10n=2,求102m－n的值.
10.已知3x=a,3y=b,求32x－y的值.
答案：1.D2.D3.D4.B
5.－ －36.37.－18.－
9. 10.
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