有關函數的極值與導數的測試題及答案
一、選擇題
1．已知函數f(x)在點x0處連續，下列命題中，正確的是()
A．導數為零的點一定是極值點
B．如果在點x0附近的左側f(x)0，右側f(x)0，那么f(x0)是極小值
C．如果在點x0附近的左側f(x)0，右側f(x)0，那么f(x0)是極大值
D．如果在點x0附近的左側f(x)0，右側f(x)0，那么f(x0)是極大值
[答案] C
[解析] 導數為0的點不一定是極值點，例如f(x)＝x3，f(x)＝3x2，f(0)＝0，但x＝0不是f(x)的極值點，故A錯；由極值的定義可知C正確，故應選C.
2．函數y＝1＋3x－x3有()
A．極小值－2，極大值2
B．極小值－2，極大值3
C．極小值－1，極大值1
D．極小值－1，極大值3
[答案] D
[解析] y＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)
令y＝0，解得x1＝－1，x2＝1
當x－1時，y0，函數y＝1＋3x－x3是減函數，
當－11時，y0，函數y＝1＋3x－x3是增函數，
當x1時，y0，函數y＝1＋3x－x3是減函數，
當x＝－1時，函數有極小值，y極小＝－1.
當x＝1時，函數有極大值，y極大＝3.
3．設x0為f(x)的極值點，則下列說法正確的是()
A．必有f(x0)＝0
B．f(x0)不存在
C．f(x0)＝0或f(x0)不存在
D．f(x0)存在但可能不為0
[答案] C
[解析] 如：y＝|x|，在x＝0時取得極小值，但f(0)不存在．
4．對于可導函數，有一點兩側的導數值異號是這一點為極值的()
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
[答案] C
[解析] 只有這一點導數值為0，且兩側導數值異號才是充要條件．
5．對于函數f(x)＝x3－3x2，給出命題：
①f(x)是增函數，無極值；
②f(x)是減函數，無極值；
③f(x)的遞增區間為(－，0)，(2，＋)，遞減區間為(0,2)；
④f(0)＝0是極大值，f(2)＝－4是極小值．
其中正確的命題有()
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
[答案] B
[解析] f(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f(x)0，得x2或x0，令f(x)0，得02，①②錯誤．
6．函數f(x)＝x＋1x的極值情況是()
A．當x＝1時，極小值為2，但無極大值
B．當x＝－1時，極大值為－2，但無極小值
C．當x＝－1時，極小值為－2；當x＝1時，極大值為2
D．當x＝－1時，極大值為－2；當x＝1時，極小值為2
[答案] D
[解析] f(x)＝1－1x2，令f(x)＝0，得x＝1，
函數f(x)在區間(－，－1)和(1，＋)上單調遞增，在(－1,0)和(0,1)上單調遞減，
當x＝－1時，取極大值－2，當x＝1時，取極小值2.
7．函數f(x)的定義域為開區間(a，b)，導函數f(x)在(a，b)內的`圖象如圖所示，則函數f(x)在開區間(a，b)內有極小值點()
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
[答案] A
[解析] 由f(x)的圖象可知，函數f(x)在區間(a，b)內，先增，再減，再增，最后再減，故函數f(x)在區間(a，b)內只有一個極小值點．
8．已知函數y＝x－ln(1＋x2)，則函數y的極值情況是()
A．有極小值
B．有極大值
C．既有極大值又有極小值
D．無極值
[答案] D
[解析] ∵y＝1－11＋x2(x2＋1)
＝1－2xx2＋1＝(x－1)2x2＋1
令y＝0得x＝1，當x1時，y0，
當x1時，y0，
函數無極值，故應選D.
9．已知函數f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于(1,0)點，則函數f(x)的極值是()
A．極大值為427，極小值為0
B．極大值為0，極小值為427
C．極大值為0，極小值為－427
D．極大值為－427，極小值為0
[答案] A
[解析] 由題意得，f(1)＝0，p＋q＝1①
f(1)＝0，2p＋q＝3②
由①②得p＝2，q＝－1.
f(x)＝x3－2x2＋x，f(x)＝3x2－4x＋1
＝(3x－1)(x－1)，
令f(x)＝0，得x＝13或x＝1，極大值f13＝427，極小值f(1)＝0.
10．下列函數中，x＝0是極值點的是()
A．y＝－x3 B．y＝cos2x
C．y＝tanx－x D．y＝1x
[答案] B
[解析] y＝cos2x＝1＋cos2x2，y＝－sin2x，
x＝0是y＝0的根且在x＝0附近，y左正右負，
x＝0是函數的極大值點．
二、填空題
11．函數y＝2xx2＋1的極大值為______，極小值為______．
[答案] 1－1
[解析] y＝2(1＋x)(1－x)(x2＋1)2，
令y0得－11，令y0得x1或x－1，
當x＝－1時，取極小值－1，當x＝1時，取極大值1.
12．函數y＝x3－6x＋a的極大值為____________，極小值為____________．
[答案] a＋42 a－42
[解析] y＝3x2－6＝3(x＋2)(x－2)，
令y0，得x2或x－2，
令y0，得－22，
當x＝－2時取極大值a＋42，
當x＝2時取極小值a－42.
13．已知函數y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1處有極大值，在x＝3處有極小值，則a＝______，b＝________.
[答案] －3－9
[解析] y＝3x2＋2ax＋b，方程y＝0有根－1及3，由韋達定理應有
14．已知函數f(x)＝x3－3x的圖象與直線y＝a有相異三個公共點，則a的取值范圍是________．
[答案] (－2,2)
[解析] 令f(x)＝3x2－3＝0得x＝1，
可得極大值為f(－1)＝2，極小值為f(1)＝－2，
y＝f(x)的大致圖象如圖
觀察圖象得－22時恰有三個不同的公共點．
三、解答題
15．已知函數f(x)＝x3－3x2－9x＋11.
(1)寫出函數f(x)的遞減區間；
(2)討論函數f(x)的極大值或極小值，如有試寫出極值．
[解析] f(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，
令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
x變化時，f(x)的符號變化情況及f(x)的增減性如下表所示：
x (－，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋)
f(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 增 極大值
f(－1) 減 極小值
f(3) 增
(1)由表可得函數的遞減區間為(－1,3)；
(2)由表可得，當x＝－1時，函數有極大值為f(－1)＝16；當x＝3時，函數有極小值為f(3)＝－16.
16．設函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1處有極值，且f(1)＝－1，求a、b、c的值，并求出相應的極值．
[解析] f(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝1是函數的極值點，－1、1是方程f(x)＝0的根，即有
又f(1)＝－1，則有a＋b＋c＝－1，
此時函數的表達式為f(x)＝12x3－32x.
f(x)＝32x2－32.
令f(x)＝0，得x＝1.
當x變化時，f(x)，f(x)變化情況如下表：
x (－，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋)
f(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 極大
值1 ? 極小
值－1 ?
由上表可以看出，當x＝－1時，函數有極大值1；當x＝1時，函數有極小值－1.
17．已知函數f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝1處取得極值．
(1)討論f(1)和f(－1)是函數f(x)的極大值還是極小值；
(2)過點A(0,16)作曲線y＝f(x)的切線，求此切線方程．
[解析] (1)f(x)＝3ax2＋2bx－3，依題意，
f(1)＝f(－1)＝0，即
解得a＝1，b＝0.
f(x)＝x3－3x，
f(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．
令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.
若x(－，－1)(1，＋)，則f(x)＞0，故
f(x)在(－，－1)上是增函數，
f(x)在(1，＋)上是增函數．
若x(－1,1)，則f(x)＜0，故
f(x)在(－1,1)上是減函數．
f(－1)＝2是極大值；f(1)＝－2是極小值．
(2)曲線方程為y＝x3－3x.點A(0,16)不在曲線上．
設切點為M(x0，y0)，則點M的坐標滿足y0＝x30－3x0.
∵f(x0)＝3(x20－1)，故切線的方程為
y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．
注意到點A(0,16)在切線上，有
16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)．
化簡得x30＝－8，解得x0＝－2.
切點為M(－2，－2)，
切線方程為9x－y＋16＝0.
18．(2010北京文，18)設函數f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a0)，且方程f(x)－9x＝0的兩個根分別為1,4.
(1)當a＝3且曲線y＝f(x)過原點時，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－，＋)內無極值點，求a的取值范圍．
[解析] 本題考查了函數與導函數的綜合應用．
由f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d得f(x)＝ax2＋2bx＋c
∵f(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的兩根為1,4.
(1)當a＝3時，由(*)式得 ，
解得b＝－3，c＝12.
又∵曲線y＝f(x)過原點，d＝0.
故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a0，所以“f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d在(－，＋)內無極值點”等價于“f(x)＝ax2＋2bx＋c0在(－，＋)內恒成立”
由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又∵＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)
解 得a[1,9]，
即a的取值范圍[1,9]．
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