立體幾何測試題
1．∥，a，b與，都垂直，則a，b的關系是
A．平行 B．相交 C．異面 D．平行、相交、異面都有可能
2．異面直線a，b，a⊥b，c與a成300，則c與b成角范圍是
A．[600，900] B．[300，900] C．[600，1200] D．[300，1200]
3．正方體AC1中，E、F分別是AB、BB1的中點，則A1E與C1F所成的角的余弦值是
A． B． C． D．
4．在正△ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后，BC=AB，這時二面角B—AD—C大小為
A．600 B．900 C．450 D．1200
5．一個山坡面與水平面成600的二面角，坡腳的水平線（即二面角的棱）為AB，甲沿山坡自P朝垂直于AB的方向走30m，同時乙沿水平面自Q朝垂直于AB的方向走30m，P、Q都是AB上的點，若PQ=10m，這時甲、乙2個人之間的距離為
A． B． C． D．
6．E、F分別是正方形ABCD的邊AB和CD的中點，EF交BD于O，以EF為棱將正方形
折成直二面角如圖，則∠BOD=
A．1350 B．1200 C．1500 D．900
7．三棱錐V—ABC中，VA=BC，VB=AC，VC=AB，側面與底面ABC所成的二面角分別為α，β，γ（都是銳角），則cosα+cosβ+cosγ等于
A．1 B．2 C． D．
8．正n棱錐側棱與底面所成的角為α，側面與底面所成的角為β，tanα∶tanβ等于
A． B． C． D．
9．一個簡單多面體的各面都是三角形，且有6個頂點，則這個簡單多面體的面數是
A．4 B．6 C．8 D．10
10．三棱錐P—ABC中，3條側棱兩兩垂直，PA=a，PB=b，PC=c，△ABC的面積為S，則P到平面ABC的距離為
A． B． C． D．
11．三棱柱ABC—A1B1C1的體積為V，P、Q分別為AA1、CC1上的點，且滿足AP=C1Q，則四棱錐B—APQC的體積是
A． B． C． D．
12．多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF=，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為
A． B．5 C．6 D．
13．已知異面直線a與b所成的角是500，空間有一定點P，則過點P與a，b所成的角都是300的直線有________條．
14．線段AB的端點到平面α的距離分別為6cm和2cm，AB在α上的射影A’B’的長為3cm，則線段AB的長為__________．
15．正n棱錐相鄰兩個側面所成二面角的取值范圍是____________．
16．如果一個簡單多面體的每個面都是奇數的多邊形，那么它的面數是__________．
17．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點，O為AC與BD的交點．
求證：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H；（3）A1O⊥平面BDF；（4）平面BDF⊥平面AA1C．
18．如圖，三棱錐D—ABC中，平面ABD、平面ABC均為等腰直角三角形，
∠ABC=∠BAD=900，其腰BC=a，且二面角D—AB—C=600．
⑴求異面直線DA與BC所成的角；⑵求異面直線BD與AC所成的角；
⑶求D到BC的'距離； ⑷求異面直線BD與AC的距離．
19．如圖，在600的二面角α—CD—β中，ACα，BDβ，且ACD=450，tg∠BDC=2，CD=a，AC=x，BD=x，當x為何值時，A、B的距離最小？并求此距離．
20．如圖，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是邊長為a的正三角形，側棱長為 b，側棱AA’與底面相鄰兩邊AB、AC都成450角，求此三棱柱的側面積和體積．
參考答案：
1.D; 2.A; 3.C; 4.A; 5.B; 6.B; 7.A; 8.B; 9.C; 10.B; 11.B; 12.D; 13.2; 14. 5或; 15. （）; 16. 偶數;
17. 解析：
⑴欲證EG∥平面BB1D1D，須在平面BB1D1D內找一條與EG平行的直線，構造輔助平面BEGO’及輔助直線BO’，顯然BO’即是。
⑵按線線平行線面平行面面平行的思路，在平面B1D1H內尋找B1D1和O’H兩條關鍵的相交直線，轉化為證明：B1D1∥平面BDF，O’H∥平面BDF
⑶A1O⊥平面BDF，由三垂線定理，易得BD⊥A1O，再尋A1O垂直于平面BDF內的另一條直線。猜想A1O⊥OF。借助于正方體棱長及有關線段的關系計算得：A1O2+OF2=A1F2A1O⊥OF。
⑷∵ CC1⊥平面AC∴ CC1⊥BD 又BD⊥AC∴ BD⊥平面AA1C 又BD平面BDF
∴ 平面BDF⊥平面AA1C
18. 解析：
在平面ABC內作AE∥BC，從而得∠DAE=600
∴ DA與BC成600角
過B作BF∥AC，交EA延長線于F，則∠DBF為BD與AC所成的角
由△DAF易得AF=a，DA=a，∠DAF=1200∴ DF2=a2+a2-2a2·()=3a2 ∴ DF=a
DBF中，BF=AC=a∴ cos∠DBF=∴ 異面直線BD與AC成角arccos
（3）∵ BA⊥平面ADE∴ 平面DAE⊥平面ABC
故取AE中點M，則有DM⊥平面ABC；取BC中點N，由MN⊥BC，根據三垂線定理，DN⊥BC
∴ DN是D到BC的距離 在△DMN中，DM=a，MN=a∴ DN=a
（4）∵ BF平面BDF，AC平面BDF，AC∥BF∴ AC∥平面BDF 又BD平面BDF
∴ AC與BD的距離即AC到平面BDF的距離∵ ，
由，即異面直線BD與AC的距離為.
19. 解析：作AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，則EF為異面直線AE、BF的公垂段，AE與BF成600角，可求得|AB|=，當x=時，|AB|有最小值.
20. 解析：在側面AB’內作BD⊥AA’于D 連結CD
∵ AC=AB，AD=AD，∠DAB=∠DAC=450 ∴ △DAB≌△DAC ∴ ∠CDA=∠BDA=900，BD=CD
∴ BD⊥AA’，CD⊥AA’∴ △DBC是斜三棱柱的直截面
在Rt△ADB中，BD=AB·sin450=
∴ △DBC的周長=BD+CD+BC=(+1)a，△DBC的面積=
∴ S側=b(BD+DC+BC)=(+1)ab ∴ V=·AA’=
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