高一數學知識點歸納總結

時間：2023-12-07 11:00:14 芊喜知識點總結我要投稿

高一數學知識點歸納總結

　　總結是指對某一階段的工作、學習或思想中的經驗或情況進行分析研究，做出帶有規律性結論的書面材料，它可以明確下一步的工作方向，少走彎路，少犯錯誤，提高工作效益，因此我們要做好歸納，寫好總結。那么你真的懂得怎么寫總結嗎？下面是小編幫大家整理的高一數學知識點歸納總結，僅供參考，希望能夠幫助到大家。

高一數學知識點歸納總結

　　高一數學知識點歸納總結

　　指數函數

　　(1)指數函數的定義域為所有實數的集合，這里的前提是a大于0，對于a不大于0的情況，則必然使得函數的定義域不存在連續的區間，因此我們不予考慮。

　　(2)指數函數的值域為大于0的實數集合。

　　(3)函數圖形都是下凹的。

　　(4)a大于1，則指數函數單調遞增；a小于1大于0，則為單調遞減的。

　　(5)可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向于無窮大的過程中(當然不能等于0)，函數的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

　　(6)函數總是在某一個方向上無限趨向于X軸，永不相交。

　　(7)函數總是通過(0，1)這點。

　　(8)顯然指數函數無界。

　　奇偶性

　　定義

　　一般地，對于函數f(x)

　　(1)如果對于函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數。

　　(2)如果對于函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數。

　　(3)如果對于函數定義域內的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立，那么函數f(x)既是奇函數又是偶函數，稱為既奇又偶函數。

　　(4)如果對于函數定義域內的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那么函數f(x)既不是奇函數又不是偶函數，稱為非奇非偶函數。

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　　【基本初等函數】

　　一、指數函數

　　（一）指數與指數冪的運算

　　1、根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根（nthroot），其中>1，且∈

　　當是奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數。此時，的次方根用符號表示。式子叫做根式（radical），這里叫做根指數（radicalexponent），叫做被開方數（radicand）。

　　當是偶數時，正數的次方根有兩個，這兩個數互為相反數。此時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號—表示。正的次方根與負的次方根可以合并成±（>0）。由此可得：負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。

　　注意：當是奇數時，當是偶數時，

　　2、分數指數冪

　　正數的分數指數冪的意義，規定：

　　0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義

　　指出：規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪。

　　3、實數指數冪的運算性質

　　（二）指數函數及其性質

　　1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數（exponential），其中x是自變量，函數的定義域為R。

　　注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1。

　　2、指數函數的圖象和性質

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　　I.定義與定義表達式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：y=ax^2+bx+c

　　(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大.)

　　則稱y為x的二次函數。

　　二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

　　II.二次函數的三種表達式

　　一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)

　　頂點式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P(h，k)]

　　交點式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點A(x?，0)和B(x?，0)的拋物線]

　　注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系：

　　h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

　　III.二次函數的圖像

　　在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。

　　IV.拋物線的性質

　　1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點P。

　　特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

　　2.拋物線有一個頂點P，坐標為

　　P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)

　　當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。

　　3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

　　當a>0時，拋物線向上開口；當a<0時，拋物線向下開口。

　　|a|越大，則拋物線的開口越小。

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　　（一）圓的標準方程

　　1.圓的定義：

　　平面內到一定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓.定點叫圓的圓心，定長叫做圓的半徑.

　　2.圓的標準方程：

　　已知圓心為（a，b），半徑為r，則圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.

　　說明：

　　（1）上式稱為圓的標準方程.

　　（2）如果圓心在坐標原點，這時a＝0，b＝0，圓的方程就是x2+y2=r2.

　　（3）圓的標準方程顯示了圓心為（a，b），半徑為r這一幾何性質，即(x-a)2+(y-b)2=r2----圓心為（a，b），半徑為r.

　　（4）確定圓的條件

　　由圓的標準方程知有三個參數a、b、r，只要求出a、b、r，這時圓的方程就被確定。因此，確定圓的方程，需三個獨立的條件，其中圓心是圓的定位條件，半徑是圓的定型條件.

　　（5）點與圓的位置關系的判定

　　若點M（x1，y1）在圓外，則點到圓心的距離大于圓的半徑，即(x-a)2+(y-b)2＞r2

　　若點M（x1，y1）在圓內，則點到圓心的距離小于圓的半徑，即(x-a)2+(y-b)2＜r2

　　（二）圓的一般方程

　　任何一個圓的方程都可以寫成下面的形式：

　　x2+y2+Dx+Ey+F=0①

　　將①配方得：

　　②(x+D/2)2+(y+E/2)2=D2+E2-4F/4

　　當時，方程①表示以（-D/2，-E/2）為圓心，以為半徑的圓；

　　當時，方程①只有實數解，所以表示一個點（-D/2，-E/2）；

　　當時，方程①沒有實數解，因此它不表示任何圖形.

　　故當時，方程①表示一個圓，方程①叫做圓的一般方程.

　　圓的標準方程的優點在于它明確地指出了圓心和半徑，而一般方程突出了方程形式上的特點：

　　（1）和的系數相同，且不等于0；

　　（2）沒有xy這樣的二次項.

　　以上兩點是二元二次方程表示圓的必要條件，但不是充分條件.

　　要求出圓的一般方程，只要求出三個系數D、E、F就可以了.

　　（三）直線和圓的位置關系

　　1.直線與圓的位置關系

　　研究直線與圓的位置關系有兩種方法：

　　（l）幾何法：令圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r.

　　d>r直線與圓相離；d＝r直線與圓相切；0≤d

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　　一、函數的概念與表示

　　1、映射

　　(1)映射：設A、B是兩個集合，如果按照某種映射法則f，對于集合A中的任一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，則這樣的對應(包括集合A、B以及A到B的對應法則f)叫做集合A到集合B的映射，記作f：A→B。

　　注意點：(1)對映射定義的理解。(2)判斷一個對應是映射的方法。一對多不是映射，多對一是映射

　　2、函數

　　構成函數概念的三要素

　　①定義域②對應法則③值域

　　兩個函數是同一個函數的條件：三要素有兩個相同

　　二、函數的解析式與定義域

　　1、求函數定義域的主要依據：

　　(1)分式的分母不為零；

　　(2)偶次方根的被開方數不小于零，零取零次方沒有意義；

　　(3)對數函數的真數必須大于零；

　　(4)指數函數和對數函數的底數必須大于零且不等于1；

　　三、函數的值域

　　1求函數值域的方法

　　①直接法：從自變量x的范圍出發，推出y=f(x)的取值范圍，適合于簡單的復合函數；

　　②換元法：利用換元法將函數轉化為二次函數求值域，適合根式內外皆為一次式；

　　③判別式法：運用方程思想，依據二次方程有根，求出y的取值范圍；適合分母為二次且∈R的分式；

　　④分離常數：適合分子分母皆為一次式(x有范圍限制時要畫圖)；

　　⑤單調性法：利用函數的單調性求值域；

　　⑥圖象法：二次函數必畫草圖求其值域；

　　⑦利用對號函數

　　⑧幾何意義法：由數形結合，轉化距離等求值域。主要是含絕對值函數

　　四.函數的奇偶性

　　1.定義:設y=f(x)，x∈A，如果對于任意∈A，都有，則稱y=f(x)為偶函數。

　　如果對于任意∈A，都有，則稱y=f(x)為奇

　　函數。

　　2.性質：

　　①y=f(x)是偶函數y=f(x)的圖象關于軸對稱，y=f(x)是奇函數y=f(x)的圖象關于原點對稱，

　　②若函數f(x)的定義域關于原點對稱，則f(0)=0

　　③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[兩函數的定義域D1，D2，D1∩D2要關于原點對稱]

　　3.奇偶性的判斷

　　①看定義域是否關于原點對稱②看f(x)與f(-x)的關系

　　五、函數的單調性

　　1、函數單調性的定義：

　　2設是定義在M上的函數，若f(x)與g(x)的單調性相反，則在M上是減函數；若f(x)與g(x)的單調性相同，則在M上是增函數。

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　　1、函數零點的定義

　　(1)對于函數)(xfy，我們把方程0)(xf的實數根叫做函數)(xfy）的零點。

　　(2)方程0)(xf有實根函數(yfx）的圖像與x軸有交點函數(yfx）有零點。因此判斷一個函數是否有零點，有幾個零點，就是判斷方程0)(xf是否有實數根，有幾個實數根。函數零點的求法：解方程0)(xf，所得實數根就是(fx）的零點(3)變號零點與不變號零點

　　①若函數(fx）在零點0x左右兩側的函數值異號，則稱該零點為函數(fx）的變號零點。②若函數(fx）在零點0x左右兩側的函數值同號，則稱該零點為函數(fx）的不變號零點。

　　③若函數(fx）在區間，ab上的圖像是一條連續的曲線，則0

　　2、函數零點的判定

　　(1)零點存在性定理：如果函數)(xfy在區間]，[ba上的圖象是連續不斷的曲線，并且有(fa）（fb），那么，函數(xfy）在區間，ab內有零點，即存在，(0bax，使得0)(0xf，這個0x也就是方程0)(xf的根。

　　(2)函數)(xfy零點個數(或方程0)(xf實數根的個數)確定方法

　　①代數法：函數)(xfy的零點0)(xf的根；②(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數)(xfy的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點。

　　(3)零點個數確定

　　0)(xfy有2個零點0)(xf有兩個不等實根；0)(xfy有1個零點0)(xf有兩個相等實根；0)(xfy無零點0)(xf無實根；對于二次函數在區間，ab上的零點個數，要結合圖像進行確定.

　　3、二分法

　　(1)二分法的定義:對于在區間[，]ab上連續不斷且(fa）（fb）的函數(yfx），通過不斷地把函數(yfx）的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法；

　　(2)用二分法求方程的近似解的步驟:

　　①確定區間[，]ab，驗證(fa）（fb）給定精確度e；

　　②求區間(，)ab的中點c；

　　③計算(fc）；

　　(ⅰ)若(fc），則c就是函數的零點；

　　(ⅱ)若(fa）（fc），則令bc(此時零點0(，)xac)；(ⅲ)若(fc）（fb），則令ac(此時零點0(，)xcb)；

　　④判斷是否達到精確度e，即ab，則得到零點近似值為a(或b)；否則重復②至④步.

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